Эволюция орбит планет Солнечной системы

Вычисления орбиты Земли по точному методу (в этом методе решения не задается априори форма орбиты планеты), натолкнули на мысль, что параметры орбиты  (скорости и расстояния до Солнца) в экстремальных точках (перигелий и афелий) можно просто и точно вычислить, применив только законы сохранения энергии и момента импульса. Здесь под словом “точно” подразумевается, что решение задачи взаимодействия двух тел происходит без возмущающих воздействий.

  Расчетные формулы находятся из решения системы уравнений

   

                Vn*2 + 2b Rn*(1 + y) / (1 + y) =  Va*2 + 2b Ra*(1 + y) / (1 + y)            (1)

 

                 VnRn = VaRa = const                                                                             (2)

 

где

    Vn и Vа - скорости в перигелии и афелии, соответственно;

     у - степень (для закона Всемирного тяготения Ньютона у = -2):

     Rn и Ra - расстояния до  перигелия и афелия между центрами Земли и Солнца, соответственно;

    b - коэффициент (для закона Всемирного тяготения Ньютона  b = GM = 1.3273 10*20  здесь: G - постоянная всемирного тяготения; М - масса Солнца).

    Уравнение (1) следует из закона сохранения энергии, а уравнение (2) - из закона сохранения момента импульса.

     Из уравнения (2) определяем Va

 

                                                             Va = VnRn /  Ra                                               (3)    

 

и, подставив в уравнение (1), получаем расчетную формулу

 

             Vn*2 ( Ra*2 -  Rn*2) +  2b Rа*2 ( Rn*(1 + y) - Ra*(1 + y))/ (1 + y) = 0           (4)

 

Уравнение (4) - трансцендентное и решается численным методом последовательных приближений.

     Известно, что Солнце обладает излучением, которое стремится оттолкнуть планету. Эта сила центральная по отношению к каждой из планет, поэтому закон сохранения момента импульса действительный, также как и формула (2).

     Рассмотрим этот метод на примере орбиты Земли. В Википедии на настоящее время сообщается:  Rn = 1471 10*8 м, Vn = 30270 м/с и Ra = 1521 10*8 м.  Расчет расстояния в афелии по формуле (4) для приведенной выше пары  Rn и Vn составляет Ra = 1517,237 10*8 м, что вполне  согласуется со значением Википедии.

     Пусть за счет излучения Солнца Земля переместилась за какое-то значительное время (ускорение от воздействия излучения чрезвычайно мало !)  с теперешней орбиты на орбиту с перигелием Rn = 1473 10*8 м. Тогда, подставляя новое значения  Rn в формулу  (3), определяем новое  Vn = 30228,9002 м/с.Эту новую пару  Rn и Vn подставляем в формулу (4) и методом последовательных приближений определяем соответствующее значение расстояния в афелии  Ra = 1515,115 10*8 м.

     Аналогично определяем другие пары,например: Rn = 1479 10*8 м  и

Vn = 30106,2677 м --  Ra = 1508,819 10*8 м; Rn = 1485 10*8 м  и  Vn =29984,6263 м/с --

Ra = 1502,626 10*8 м;  и т.д.

      Нетрудно заметить, что с увеличением перигелия афелий уменьшается.

      Продолжая подобные вычисления находим такой перигелий, при котором он равен афелию и его значение равно  Rn = Ra = 1493.7609 10*8 м  и   Vn = Vа =29984,6263 м/с.

Вычисленные значения параметров - это признаки круговой орбиты.. Эта орбита устойчивая при условии воздействия центральных возмущений в силу индифферентности формул (1) и (2) к  Rп, Ra  и  Vn,Va .   

В заключение приведу формулы для расчета радиуса круговой орбиты  Rк, соответствующей паре Rn и Vn , следующие из решения системы уравнений

 

                  Vn*2 + 2b Rn*(1 + y) / (1 + y) =  Va*2 + 2b Ra*(1 + y) / (1 + y)            (5)

 

                  Vк*2 / Rк = b Rк*(1 + y)                                                                           (6)

 

       Vк - скорость планеты на круговой орбите. Таким образом:

                   

              Rк = е*d  ,            d = (ln (Vn*2Rn*2 /b ))/(3+y)  ,        Vк = VnRn /Rк  .           (7)   .

 

       Следует обратить внимание, что стремление планет занять круговую орбиту, не зависит от закона тяготения, но  определяет соотношение  Vк  и  Rк .

                                                                                   

                                                                                                           Гаюк В.Г.    29.12. 2016 г.






         .