Задача двух тел (новый метод решения)

Казалось бы, что нового можно предложить в такой старой и разработанной теме? Аналитическое решение этой задачи основано на предположении, что форма траектории движения тела, в частности движения планет вокруг Солнца, известна, а также привлекаются законы сохранения энергии и сохранения момента импульса .

   Но если попытаться решить решить эту задачу без использования этих данных?

  

 Широко известна школьная задача по физике - полет снаряда над поверхностью Земли. При решении этой задачи используются

начальные параметры движения снаряда, ускорение свободного падения (УСП) и принцип независимости движений (принцип суперпозиции). УСП считается постоянным по модулю и направлению в любой точке траектории полета  снаряда. Никакие другие законы не применяются. Чисто кинематическая задача.

   Движение планет вокруг Солнца принципиально ничем не отличается от движения снаряда относительно Земли за исключением одного: УСП не постоянно, а изменяется как по модулю так и по направлению. Причем, в соответствии с законом тяготения, УСП всегда совпадает с осью планета - Солнце и направлено в сторону Солнца.

   Аналитического решения поставленной задачи автор не нашел. Но существует еще возможность численного решения задачи с помощью компьютерной программы.

   Был разработан алгоритм вычисления проекций перемещения тела на оси X , Y и вычисление других параметров. Поскольку в статье нет возможности привести алгоритм расчета в аналитическом виде, ниже приводится подробное его описание.

   Вначале определяются начальные условия планеты: скорость, УСП и расстояние до Солнца в перигелии r0. Начало координат совпадает с центром планеты при t=0; ось X совпадает со скоростью планеты в перигелии; ось Y - c УСП. Задается интервал времени (шаг). По известным формулам прямолинейного ускоренного движения рассчитываются координаты тела после первого шага x1, y1 и r1 =корень квадратный из суммы квадратов x1 и (r0 - y1). При этих расчетах скорость, УСП и расстояние до Солнца считаются постоянными в пределах шага. Далее рассчитываются по этим данным угол между радиусом r1 и осью Y, УСП для r1 и проекции скоростей V1x и V1y на конец шага1.

  Рассчитанные значения параметров шага1 используются как начальные условия для шага 2 и так далее. Начальные условия каждого шага вводятся вручную. Для уменьшения трудоемкости вычисления в программе последовательно записано 10 шагов. Поэтому начальные условия вносятся в шаг1, в автоматическом режиме вычисляются параметры с первого по 10 шаги, а параметры шага10 вносятся как начальные условия шага11 и так далее.

   При вычислении следует следить за знаком в формулах, в которых присутствует cos. При переходе угла между радиусом r и осью Y из 1-й во 2-ю и 3-й в 4-ю четверти тригонометрического круга знак формул, содержащих cos  меняется на противоположный (поправки также вносятся вручную).

  Программа, разработанная для Mathcad 15, несовершенна и трудоемка скорее всего из-за недостаточной квалификации автора как программиста и требует усовершенствования, тем более, для повышения точности расчетов требуется уменьшение шага, что еще более увеличивает объем вычислений.

  Но за отсутствием лучшего программа была отлажена и апробирована на расчетах орбит некоторых планет. По результатам апробирования уже можно сделать следующие выводы:

   1. Орбиты планет незамкнутые.

   2. Присутствует смещение (прецессия) перигелия и апогея.

   3. Программа позволяет расчетным методом наблюдать эволюцию орбит ИСЗ виток за витком.

   4. Программу можно применить для разработки и оптимизации разгона космических аппаратов гравитационным маневрированием.

   5. Подтверждена справедливость закона сохранения энергии в этой задаче.

   

   Таким образом, разработан метод решения задачи двух тел. позволяющий вычислить точную траекторию космических тел, а также линейные и угловые скорости и ускорения в любой точке траектории. Точность вычисления параметров движения ограничивается только точностью вычислений, которая в первую очередь зависит от исходных данных (начальных условий) и шага вычислений.

 

         Гаюк В.Г.      07.04.2016 г.





0 comments